第一題作業- 中央極限定理

中央極限定理(Central Limit Theorem, 簡稱CLT)是統計學中最重要的定理之一,根據中央極限定理,不論母群體之機率分配為何種型式,由同一母體抽出 個獨立變量,當 n 夠大時,其樣本平均數的抽樣分配會近似常態分配

從同一母群體取出樣本數為n之無限多組樣本,此無限多組樣本之平均數之分佈,稱為「樣本平均數抽樣分佈」 當「樣本平均數抽樣分佈」抽樣之樣本數n趨近於無限大時,依據中央極限定理,其分佈具有以下特性:

  • 樣本平均數抽樣分佈會趨近常態分佈
  • 樣本平均數抽樣分佈之平均數會等於母群體平均數
  • 樣本平均數抽樣分佈的標準差,又稱「平均數之標準誤」,會等於母群體標準差除以樣本數 n 的平方根。
    (隨著n增加,平均數之標準誤會隨之變小。)

當使用於R時,則有下列程式碼:

 

資料來源:中央極限定理 / 樣本平均數抽樣分佈 / 平均數之標準誤Probability and Statistics

第二題作業

1. m=10000, n=100 樣本平均數抽樣分配, min=-5, max=5

# 表示註解,不會被執行

<- 與 =可以共用,代表設定

length 代表長度,輸入length (x_bar) 顯示10000,是因為m=10000

runif 的r=random 隨機, uni=uniform, f=function

rnorm的r=random, norm=normal

hist 為統計學中直方圖Histogram,breaks=40 代表直方圖分成40格。

freq: 邏輯值,一般來說會默認為True(即y軸顯示Frequency),但因為我們y軸要代表的是Density,因此須設定為” F “(False)。

density為密度之意,col=” red “代表線顯示為紅色,如下圖所示。

seq為序列,seq( from, to, by), 該函數的意思是生成一組數字,從from開始,到to結束,by=指定參數

函數:[lines(seq(min(x_bar), max(x_bar), by=.05),] ,即為生成一組數字從樣本平均數最小值到最大值,指定參數為.05。

機率密度函數: dnorm的d=density,norm=正態頻率

dnorm(seq(min(x_bar), max(x_bar), by=.05), mean(x_bar), sd(x_bar)), col=”blue”, lwd=1) 該函數給定平均值和標準差在每個點的機率分布的高度,col=” blue”意謂此條線為藍色。

上圖藍色線(常態分配)與紅色線(抽樣分配)二者十分接近,代表符合中央極限定理。

summary從左至右分別為: Min最小值,第一四分位數,Median中位數,Mean平均數,第三四分位數,Max最大值。

樣本平均數mean(x_bar)=-0.00123

var變異數=0.082、sd標準差=0.287,其中變異數愈小,代表資料愈集中於平均數附近

sd(x_bar) 可寫成  sqrt(var(x_bar))

runif 全名為random uniform function

rnormal: 平均數10,標準差120的常態分配,抽100個出來

 

2.若n=9, sd=120

summary從左至右分別為: Min最小值,第一四分位數,Median中位數,Mean平均數,第三四分位數,Max最大值。

windows() 代表多加開啟一個新視窗(圖)

# 表示註解,不會被執行

當 n=9,樣本數較少時,可發現藍色線與紅色線距離較為明顯,變異數(=0.9)和標準差(0.949)數值也隨之上升,代表群體數值分散情形愈大。

(額外練習) 若n=9, sd=12 (可發現曲線向左移)

第三題作業

1.斜率b=0.6_n=100 _ p<-100000_m=10000

y<-2+0.6*x+0.8*e

abline(lm(y~x),col=”white”)

a=截距 =2

b=斜率=0.6,col=”white (代表迴歸線的顏色為白色)

lm=linear model,為迴歸

y 為依變數,x 為自變數

~ , 左邊為響應變量,右邊為解釋變量

Coefficients()列出擬合模型的模型參數(截距項和斜率)

下圖白色斜線為迴歸線

藍色線為常態分配,紅色為抽樣分配

2.斜率b=0.6_n=16 _ p<-100000_m=10000

大部分程式碼與上圖相同,僅少數差異,如下圖所示:

———–作業繳交結束-————–

1.(額外練習) 下面截圖為population的程式碼,輸出後可得到population-rnorm(10000, mean=10, sd=120)的圖表(如下所呈現)

與上方比較,程式碼有些許不同( x<-rnorm(n, mean=10, sd=120,前方#需移除)

#windows()

#hist(runif(10000, min=-5, max=5), breaks=50, freq=F)

windows()

hist(rnorm(10000, mean=10, sd=120), breaks=40, freq=F,main”population”)

 

2.(額外練習)把部分x_bar改成s2

# set sampling times
m <- 10000
m
# set sample size = 100
n<-100
n
# set vector
s2<-1:m
length(s2)

x_bar[1]

x_bar[125]

x_bar[10000]

x_bar

x_bar[1:m]<-0
x_bar

for (i in 1:m)
{
x<-rnorm(n, mean=10, sd=120)
#print(x)
#sampling from uniform distrubtion
x<-runif(n, min=-5, max=5)
s2[i]<-var(x)#sample variance
}

hist(s2, breaks=40, freq=F)
lines(density(s2), col=”red”, lwd=2)

s2
summary(s2)
mean(s2)
var(s2) #population variance

 

3.上課筆記區(非功課,額外練習斜率=0)

下面更正:

b<- 1:m

b[1:m]<- 0

這個網站簡略說明r的迴歸:一篇文章搞懂R語言回歸

2020.09.22 W2 中央極限定理
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